行列式的性质,矩阵做初等变换什么不变

行列式的性质，矩阵做初等变换什么不变？

矩阵的初等变换可以看成是一个方程组的方程之间两两消去的过程。回忆一下中学时期解二/三/四元一次方程的过程就知道，消去的过程并不影响方程组的解，实际上消去前后的方程组是等价的，描述了相同的变量间关系。

举个栗子，

①2a+b+c=3

②4a+2b+2c=6

③a+b+c=2

这样一个方程组写出它的增广矩阵，

A=[2 1 1 3；4 2 2 6；1 1 1 2]

我们可以初等变换为行阶梯型

[1 0 0 1；0 1 1 1；0 0 0 0]，

再把方程写出来

①a=1

②b+c=1

是否和上面那个方程组等价呢？

这个方程组才是最简形态，但是为什么上个方程组有3个方程，这个方程组只有两个方程呢，实际上之前的方程组①②是等价的，我称之为只有一个有效方程

这样初等行变换完之后化为 阶梯型 甚至 最简型，实际上就是把方程组的有效方程给挑出来了，并且还把能互相消掉的系数给消去了。有效方程的个数咱们叫它矩阵的秩(秩的原始定义不是这样的，实际上这个个数还是极大线性无关组的个数)

结论:初等变换不改变矩阵所表示的方程组，变换前后矩阵等价，矩阵的秩不变

至于其他性质，比如方阵的行列式值，特征值，迹什么的就不一定了，要看你初等变换操作是什么样的，一般情况下都会变化

结果很简单，看起来我废话了很多，是因为个人觉得把矩阵放到方程组里面理解会加深对它的理解，建立感性认识，可以少记忆很多公式，减少混淆；对我来说这个方法很实用，后面学起来要轻松不少。

ab等于0矩阵说明什么？

1.

B 的每一列都是线性方程组Ax=0的解向量;

2.

r(A)+r(B)小于或等于n, 其中n是矩阵A的列数,也就是B的行数.

3.

若这两个矩阵都是非零方阵,则必有|A|=0,|B|=0.反证。如果A和B都是行列式非零，则det(AB)=(detA)*(detB)也不是零，矛盾。

行列式拆分原理？

拆分行列式的方法：

把某1行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式性质将原行列式写成2个行列式的和，使问题简化以利于计算。一般地，当行列式的一行（列）的元素能有规律地表示成两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算。

行列式在数学中，是一个函数。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

矩阵零值定理？

设A为n阶实反对称矩阵，r为A的特征值，x为A对应r的特征列向量A*x=r*x(x的共轭转置矩阵)*A*x=r*(x的共轭转置矩阵)*x……①因为x非零，所以(x的共轭转置矩阵)*x是一个正数，记为X将①式两边分别作共轭转置，因为A实反对称，所以A的共轭转置矩阵=-A(x的共轭转置矩阵)*(-A)*x=(r的共轭)*X-(x的共轭转置矩阵)*A*x=(r的共轭)*X……②将①②两式相加， (r+r的共轭)*X=0因为X>0，所以r+r的共轭=0即r=0或r是纯虚数扩展资料性质1：奇数阶反对称矩阵的行列式值为0。性质2：当A为n阶实反对称矩阵时， 有XTAX =0。性质3：实反对称矩阵的特征值是零或纯虚数。性质4：若A为实反对称矩阵，A的特征值λ= bi(b≠0)所对应特征向量α+βi中实部与虚部对应的向量α、β相互正交。性质5：若A为n阶实反对称矩阵，则存在n阶正交矩阵Γ。

列出所有方阵行列式的性质？

基本性质

性质1行列式与它的转置行列式相等。

性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。

性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。

推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。

性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和：

性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。