三垂线,怎样证明三垂线定理及其逆定理

三垂线，怎样证明三垂线定理及其逆定理？

三垂线定理定义：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。

具体如下：1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系. 2,a与PO可以相交,也可以异面. 3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的. 从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证.即第一,找平面(基准面)及平面垂线第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直。

二面角三垂直定理？

三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. “用三垂线定理找二面角”方法俗称“作一条连一条法”： 首先确定好两个平面（设交线l）,找到（一般有现成的）一条垂直于其中一个平面的直线（与另一平面有个交点）,设垂足为H,交点为P. 下面是关键步骤：过H作交线的垂线（作一条）,与交线交于Q,连接PQ（连一条）. HQ⊥l =>PQ⊥l（这步就是应用了三垂线定理^ ^） ,∠PQH就是二面角的平面角

圆的三垂线定理？

垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。

第二个基本定理是：

圆心角，弦，弧之间的关系定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

第三个基本定理是：

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半

三垂线定理能求异面直线夹角吗？

三垂线定理能求异面直线的夹负，三垂线定理的内容是平面外的一条直线若和平面内的一条直线垂直，那么面平面内的近值线则和这个平面外的直钱在平面内的射影垂直，它的逆定理是若平面内的一条直线和平面外的一条直线在这个平面内的射影垂直，则它就和斜线垂直

三余弦公式的推理与证明？

已知OA是面α的一条斜线，OB⊥α。在α内过B作BC⊥AC，垂足为C，连接OC。OA和α所成角∠OAB=θ1，AC和AB所成角∠BAC=θ2，OA和AC所成角∠OAC=θ。求证cosθ=cosθ1*cosθ2

证明：

∵OB⊥α

∴BC是OC在α上的射影

∵BC⊥AC

∴OC⊥AC（三垂线定理）

由三角函数的定义可知

cosθ1=AB/OA，cosθ2=AC/AB，cosθ=AC/OA

∴cosθ1*cosθ2=AB/OA*AC/AB=AC/OA=cosθ

或利用三面角余弦定理来证明。

在三面角A-OBC中，设二面角O-AB-C为∠AB，易证∠AB=90°

由三面角余弦定理得

cos∠OAC=cos∠OAB*cos∠CAB+sin∠OAB*sin∠CAB*cos∠AB

即cosθ=cosθ1*cosθ2+sinθ1*sinθ2*cos90°=cosθ1*cosθ2