向量公式汇总，开启向量知识的宝藏之门，向量公式汇总，开启向量知识宝藏之门

向量作为数学和物理学中极为重要的概念，在众多领域都有着广泛的应用，从平面几何到立体几何，从力学分析到计算机图形学，向量无处不在，熟练掌握向量的相关公式，是深入理解和运用向量知识解决实际问题的关键，本文将对向量的各类公式进行全面汇总,帮助读者构建完整的向量知识体系。

向量的基本概念与表示

在平面或空间中，既有大小又有方向的量被称为向量，通常用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，向量可以用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 等，也可以用表示向量起点和终点的大写字母表示，如 $\overrightarrow{AB}$，$A$ 为起点，$B$ 为终点。

向量的线性运算公式

1. 向量加法
   • 三角形法则：已知非零向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$，在平面内任取一点 $A$，作 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，则向量 $\overrightarrow{AC}$ 叫做 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的和，记作 $\vec{a}+\vec{b}$，即 $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。
   • 平行四边形法则：以同一点 $O$ 为起点的两个已知向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 为邻边作平行四边形 $OACB$，则以 $O$ 为起点的对角线 $\overrightarrow{OC}$ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的和。
   • 坐标运算：若 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则 $\vec{a}+\vec{b}=(x_1 + x_2,y_1 + y_2)$。
2. 向量减法
   • 三角形法则：已知向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$，在平面内任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，则 $\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$。
   • 坐标运算：若 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则 $\vec{a}-\vec{b}=(x_1 - x_2,y_1 - y_2)$。
3. 向量数乘
   • 实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的积是一个向量，记作 $\lambda\vec{a}$，它的长度与方向规定如下：
     • $|\lambda\vec{a}| = |\lambda|\cdot|\vec{a}|$；
     • 当 $\lambda > 0$ 时，$\lambda\vec{a}$ 的方向与 $\vec{a}$ 的方向相同；当 $\lambda < 0$ 时，$\lambda\vec{a}$ 的方向与 $\vec{a}$ 的方向相反；当 $\lambda = 0$ 时，$\lambda\vec{a}=\vec{0}$。
   • 坐标运算：若 $\vec{a}=(x,y)$，则 $\lambda\vec{a}=(\lambda x,\lambda y)$。

向量的数量积公式

1. 定义：已知两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$，它们的夹角为 $\theta$，则数量 $|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\theta$ 叫做 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的数量积（或内积），记作 $\vec{a}\cdot\vec{b}$，即 $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\theta$。
2. 坐标运算：若 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则 $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2$。
3. 性质
   • $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$；
   • $\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$（$\vec{a}$，$\vec{b}$ 为非零向量）；
   • $\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$（$\theta$ 为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角）。

向量的模与夹角公式

1. 向量的模
   • 若 $\vec{a}=(x,y)$，则 $|\vec{a}|=\sqrt{x^2 + y^2}$；
   • 若 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$。
2. 向量的夹角：已知两个非零向量 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则 $\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$。

向量在空间中的相关公式（拓展）

1. 空间向量的坐标运算

   若 $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则 $\vec{a}+\vec{b}=(x_1 + x_2,y_1 + y_2,z_1 + z_2)$，$\vec{a}-\vec{b}=(x_1 - x_2,y_1 - y_2,z_1 - z_2)$，$\lambda\vec{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1)$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$。

2. 空间向量的模：若 $\vec{a}=(x,y,z)$，则 $|\vec{a}|=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
3. 空间向量的夹角：$\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$。

向量公式是向量知识的核心组成部分，通过对向量的线性运算、数量积、模与夹角等公式的汇总和理解，我们能够更加系统地掌握向量这一重要工具，在实际应用中，无论是解决几何问题还是物理问题，这些公式都将发挥巨大的作用，希望读者通过本文的学习，能够熟练运用这些公式，不断提升自己运用向量知识解决问题的能力。