根号 3 等于多少怎么算，根号 3 的值及计算方法

在数学的奇妙世界里,根号 3 是一个常见的无理数，很多人都知道它是一个无限不循环小数，但具体等于多少，以及如何计算它的值，可能并不是每个人都清楚，我们就深入探讨一下根号 3 等于多少以及它的计算方法。

根号 3 的近似值

根号 3 是一个无理数，其精确值无法用有限的小数或分数来表示，在实际应用中，我们通常取它的近似值，根号 3 约等于 1.732 ，这是一个被广泛使用的近似值，在很多数学计算、物理问题以及工程设计中都会用到。

计算根号 3 的方法

手工开方法

手工开方是一种传统的计算平方根的方法,其原理基于完全平方公式((a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}) ，下面我们来详细介绍如何用手工开方法计算根号 3 。

• 我们对 3 进行分组，因为 3 是一个整数，我们可以将它看作 3.000000……，从个位开始，每两位一组，即 3. 00 00 00 ……。
• 找到一个最大的整数(a)，使得(a^{2}\leq3)，显然，(1^{2}=1\lt3)，(2^{2}=4\gt3)，a = 1)，我们把 1 写在根号上面，然后用 3 减去(1^{2}=1)，得到差为 2 。
• 把下一组的两个 0 移下来，组成 200 ，现在我们要找到一个数字(b)，使得((20\times1 + b)\times b)尽可能接近但不超过 200 ，我们可以通过试值来确定(b)，假设(b = 7)，则((20\times1+7)\times7=(20 + 7)\times7 = 27\times7 = 189)；b = 8)，((20\times1 + 8)\times8=(20+8)\times8=28\times8 = 224\gt200)，b = 7)，把 7 写在根号上面 1 的后面，然后用 200 减去 189 ，得到差为 11 。
• 再把下一组的两个 0 移下来，组成 1100 ，我们要找一个数字(c)，使得((20\times17 + c)\times c)尽可能接近但不超过 1100 ，假设(c = 3)，则((20\times17+3)\times3=(340 + 3)\times3=343\times3 = 1029)；若(c = 4)，((20\times17+4)\times4=(340 + 4)\times4 = 344\times4=1376\gt1100)，c = 3)，把 3 写在根号上面 1.7 的后面，依此类推，不断重复这个过程，就可以得到更精确的根号 3 的值。

牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种用于求解方程根的数值方法,对于求(\sqrt{3})，我们可以将问题转化为求解方程(x^{2}-3 = 0)的正根。

• 牛顿迭代公式为(x{n + 1}=x{n}-\frac{f(x{n})}{f^{\prime}(x{n})})，f(x)=x^{2}-3)，(f^{\prime}(x)=2x)。
• 首先我们取一个初始值(x{0})，不妨取(x{0}=2)。
• 第一次迭代：(x{1}=x{0}-\frac{x{0}^{2}-3}{2x{0}}=2-\frac{2^{2}-3}{2\times2}=2-\frac{4 - 3}{4}=2-\frac{1}{4}=1.75)。
• 第二次迭代：(x{2}=x{1}-\frac{x{1}^{2}-3}{2x{1}}=1.75-\frac{1.75^{2}-3}{2\times1.75}=1.75-\frac{3.0625 - 3}{3.5}=1.75-\frac{0.0625}{3.5}\approx1.73214)。
• 随着迭代次数的增加,(x_{n})会越来越接近根号 3 的精确值。

使用计算器或计算机软件

在现代科技的帮助下,我们可以非常方便地得到根号 3 的近似值，只需要在科学计算器上输入“(\sqrt{3})”，按下等于键，就可以得到一个较为精确的结果，同样，在计算机上，我们可以使用编程语言来计算根号 3 的值，在 Python 中，我们可以使用以下代码：

import math
print(math.sqrt(3))

运行这段代码,就可以得到根号 3 的近似值。

通过以上的介绍,我们不仅知道了根号 3 约等于 1.732 ，还了解了多种计算根号 3 的方法，从传统的手工开方法到现代的计算机计算方法，每一种方法都有其独特的魅力和应用场景，数学的魅力就在于不断地探索和发现，希望大家在今后的学习和生活中，能继续探索更多数学的奥秘。